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Der "Sonderfall" Mathematik

Vorbemerkung

Im Mathematikunterricht werden besondere Anforderungen an sprachliche Formulierungen gestellt, z. B. korrekte Verwendung fachspezifischer Idiome, z. B.

Bei der Lösung von Textaufgaben fungiert Lesekompetenz als Schlüsselqualifikation

Sprachwissen und mathematisches Fachwissen werden integiert verarbeitet und können sich daher wechselseitig beeinflussen. Der Schwierigkeitsgrad einer Textaufgabe kann (partiell) auch durch deren sprachliche Form bedingt sein.
Verständnisschwierigkeiten können auch dadurch entstehen, dass in der Sprache der Mathematik Redundanz vermieden und so "knapp" (und präzise) wie möglich formuliert wird.

An einigen Beispielen soll gezeigt werden, Hinweis: Hier geht es also um die Funktion von Lesekompetenz bei der Lösung von Textaufgaben und um die Unterstützung mathematischer Wissensverarbeitung durch exakte Schülerformulierungen, nicht um allgemeine mathematische bzw. mathematikdidaktische Überlegungen.

Arbeitsprinzip

das mathematische Problem analysieren und eine Lösungsstrategie entwickeln,
    vorkommende Begriffe reflektieren und klären erkennen und (evtl. mit Hilfe einer Skizze) darstellen, was gegeben ist und was gesucht wird Lösungsweg gliedern erkennen, mit welchen "Werkzeugen" das Problem gelöst werden kann Arbeitschritte festlegen Teilergebnisse erschließen und sprachlich formulieren



übergeordnetes Ziel

die Verarbeitung mathematischen Fachwissens optimieren,
    die Bereitschaft zur Wissensverarbeitung erhöhen,
    Sprachwissen, mathematisches Fachwissen und Methodenkenntnisse integrieren,
    durch diese Integration Lösungsstrategien enwickeln, das Fachwissen erhöhen und systematisch Methodenkompetenz entwickeln


Beispielaufgaben

1. Aufgabe (10. Klasse)

Von der Spitze eines 30,75 m hohen Turmes aus erscheint der Fuß einer senkrechten Felswand unter einem Tiefenwinkel von 2,55°.
Der Gipfel erscheint unter einem Höhenwinkel von 10,35°.

Wie hoch ist die Felswand?

(Diese Aufgabe wurde vom Kollegium der Findorff-Realschule in Bremervörde zur Bearbeitung vorgeschlagen.)

Hinweis
Definition Höhenwinkel und Tiefenwinkel

Der Höhenwinkel ist  d e r  Winkel, den der Zielstrahl zu einem hochgelegenen Zielpunkt mit seiner Projektion in die Horizontalebene bildet.
Liegt der Zielpunkt unter der Horizontalen, so heißt der Winkel Tiefenwinkel.

(dtv Brockhaus Lexikon Band 8 (1982/89). München: Deutscher Taschenbuch Verlag: 150).

Das Problem der Aufgabe ist komplex, die Aufgabenstellung ist eindeutig.

Die Lösung der Aufgabe setzt die Kenntnis der trigonometrischen Funktionen und der Begriffe Höhenwinkel und Tiefenwinkel voraus; die Verwendung dieser Begriffe sollte bereits im Zusammenhang mit der Berechnung nicht zugänglicher Strecken geübt worden sein.

Unter den oben beschriebenen Voraussetzungen reicht der Text für leistungsstarke Schüler/innen zur Bearbeitung der Aufgabe aus. Für diese Schüler/innen stellt die Aufgabe in der angeführten (sprachlich minimalen) Form eine besondere Herausforderung/Motivation dar und ist zugleich eine verlässliche Grundlage zur Einschätzung ihrer besonderen Leistungsfähigkeit. (Die Minimierung des sprachlichen Textes bewirkt eine Steigerung der Anforderungen an mathematische Lösungsstrategien, an Methodenkompetenz.)
Für die anderen Schüler/innen sollte durch die sprachliche Formulierung die Struktur eines Lösungsweges leichter erkennbar sein; so kann z. B. das Problem in Teilaufgaben untergliedert werden.
Der Schwierigkeitsgrad der jeweils gewählten Version ist bei der Leistungsbewertung zu berücksichtigen.

Überlegungen vor Differenzierungen bei einer Textaufgabe:


Vorschlag für eine Differenzierung der Aufgabe
in vier unterschiedliche Schwierigkeitsstufen

1. Version

Von der Spitze eines 30,75 m hohen Turmes aus erscheint der Fuß einer senkrechten Felswand unter einem Tiefenwinkel von 2,55°.
Der Gipfel erscheint unter einem Höhenwinkel von 10,35°.

Wie hoch ist die Felswand?

2. Version

Von der Spitze eines 30,75 m hohen Turmes aus erscheint der Fuß einer senkrechten Felswand unter einem Tiefenwinkel von 2,55°.
Der Gipfel erscheint unter einem Höhenwinkel von 10,35°.
  1. Wie weit ist die Felswand vom Turm entfernt?
  2. Wie hoch ist die Felswand?

3. Version

Von der Spitze eines 30,75 m hohen Turmes aus erscheint der Fuß einer senkrechten Felswand unter einem Tiefenwinkel von 2,55°.
Der Gipfel erscheint unter einem Höhenwinkel von 10,35°.
  1. Fertige eine Skizze an. (Der Maßstab braucht nicht zu stimmen.)
  2. Wie weit ist die Felswand vom Turm entfernt?
  3. Um wie viele Meter liegt die Felsspitze höher als die Turmspitze?
  4. Wie hoch ist die Felswand?

4. Version*

Von der Spitze eines 30,75 m hohen Turmes aus erscheint der Fuß einer senkrechten Felswand unter einem Tiefenwinkel von 2,55°.
Der Gipfel erscheint unter einem Höhenwinkel von 10,35°.
  1. Fertige eine Skizze an. (Der Maßstab braucht nicht zu stimmen.)
  2. Wie weit ist die Felswand vom Turm entfernt? Zum Vergleich: 690,46 m
  3. Um wie viele Meter liegt die Felsspitze höher als die Turmspitze? 126,1 m
  4. Wie hoch ist die Felswand?

* Die 4. unterscheidet sich von der 3. Version lediglich durch die Angabe von Teilergebnissen zum Vergleich für die Schüler/innen. Dadurch wird die Weiterbearbeitung der Aufgabe auch für leistungsschwächere Schüler/innen ermöglicht.

Bearbeitung der Aufgabe


gegeben:
Turmhöhe:
Höhenwinkel:
Tiefenwinkel:
TT' = 30,75 m
10,35°
2,55°
gesucht:
Entfernung Felswand - Turm:
Höhenunterschied Felsspitze - Turmspitze
Höhe der Felswand:
x = ?
h* = ?
H = ?

L ö s u n g

(4. Version)

a. Skizze (nicht maßstabgerecht)

x:
h*:
H:		 Entfernung Felswand - Turm
Höhenunterschied Felsspitze - Turmspitze
Höhe der Felswand

b. Bestimmung von x (Entfernung Felswand - Turm):

Dreieck A F' T (rechter Winkel bei A)
tan 2,55° = 30,75
  x		    =>   x =   30,75    
tan 2,55°		    =>   x 690,46

c. Bestimmung von h* (Höhenunterschied Felsspitze - Turmspitze):
Im Dreieck ATF gilt:
tan 10,35° = h*
 x		    =>   h* = x ˇ tan 10,35°   =>   h* 126,10

d. Bestimmung von H (Höhe der Felswand):

H = 30,75 + h*   =>   H 156,85 

Auf die sprachliche Formulierung der Zwischenergebnisse sollte nicht verzichtet werden, weil diese "Versprachlichungen" die Entwicklung mathematischer Lösungsstrategien unterstützen und Methodenkompetenz fördern.
Einige Schüler/innen können erst durch die sprachliche Formulierung von Zwischenergebnissen den Gesamtzusammenhang erkennen und den weiteren Lösungsweg in einzelnen Arbeitsschritten erschließen.



2. Aufgabe (10. Klasse)

Aus einem kugelförmigen Tropfen einer Seifenlösung von 3 mm Durchmesser wird eine Seifenblase von 8 cm Außendurchmesser gebildet.

Wie dick ist ihre Wand?

(Schnittpunkt Klasse 10. Klett-Verlag)

Die Aufgabe ist schwierig und kann eigenständig nur nach der Behandlung ähnlicher Problemstellungen gelöst werden.
Die (eindeutig und korrekt formulierte) Aufgabenstellung ist sehr kompakt.
Die Aufgabe (das Problem) ist für die 10. Klasse (Realschule und Gymnasium) anspruchsvoll. Die Lösung - die Bestimmung der Dicke x - kann nicht unmittelbar erfolgen.

Bearbeitung der Aufgabe

gegeben:
Tropfenradius:                  1,5 mm
Radius der Seifenblase:  40 mm
gesucht:
Dicke der Hülle der Seifenblase


Skizze (nicht maßstabgerecht)

Die Dicke der Hülle wird mit x bezeichnet.
Der Innenradius der Seifenblase wird mit r bezeichnet.

Berechnung:



Die Wand der Blase ist etwa 0,0007 mm dick.

Nachbemerkungen zur 2. Aufgabe

Die Formulierung dieser Aufgabe könnte ausführlicher erfolgen, auf diese Weise würde jedoch der Lösungsweg "verraten".
Für sehr gute Schüler/innen ist die Aufgabenstellung angemessen; über eine Problemanalyse können sie die Struktur des Lösungsweges selbst erkennen.
(Es ist schade, wenn man ihnen diese Möglichkeit nicht gibt.)

Viele Schüler/innen werden jedoch Hinweise auf einzelne Arbeitsschritte benötigen.

Vorschlag:

Aus einem kugelförmigen Tropfen einer Seifenlösung von 3 mm Durchmesser wird eine Seifenblase von 8 cm Außendurchmesser gebildet.
Wie dick ist ihre Wand?
  1. Wie groß ist das Volumen des Tropfens?
  2. Welches Volumen hat die Seifenblase?
  3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Radius r des Inneren der Blase, der Dicke x der Hülle und dem Radius der geamten Seifenblase?
  4. Wie kann man das Volumen der Hülle mit Hilfe von r ausdrücken?
  5. Wie lässt sich r berechnen, wenn man das Tropfenvolumen mitberücksichtigt?
  6. Wie dick ist die Hülle?


Frage A
Welche (besseren) Vorschläge können hier gemacht werden?

Problem u. a:
Im Schwierigkeitsgrad unterscheiden sich die beiden letzten Arbeitsschritte deutlich von den ersten.

Frage B
Wie ist es möglich und sinnvoll, in einem vorbereitenden Unterrichtsgespräch (oder anders) mit Hilfe der entsprechenden Skizze sowohl den leistungsstarken als auch den leistungsschwächeren Schülern gerecht zu werden?

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